lukekaa rajat (Johdatus) ensin

äärettömyys on hyvin erikoinen ajatus. Tiedämme, ettemme voi saavuttaa sitä, mutta voimme silti yrittää selvittää niiden funktioiden arvon, joissa on äärettömyys.

yksi jaettuna Äärettömyydellä

aloitetaan mielenkiintoisella esimerkillä.

Why don ’ t we know?

yksinkertaisin syy on, että äärettömyys ei ole luku, se on idea.

joten 1∞ on vähän kuin sanoisi 1beauty tai 1tall.

ehkä voisimme sanoa, että 1∞= 0, … mutta sekin on ongelma, koska jos jaamme 1 äärettömiin paloihin ja niistä tulee 0 kukin, mitä tapahtui 1: lle?

itse asiassa 1∞: n tiedetään olevan määrittelemätön.

mutta me voimme lähestyä sitä!

joten sen sijaan, että yrittäisimme työstää sitä äärettömyyteen (koska emme saa järkevää vastausta), kokeillaan suurempia ja suurempia arvoja x:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

nyt voimme nähdä, että x: n kasvaessa 1x pyrkii kohti 0: ta

olemme nyt mielenkiintoisen tilanteen edessä:

• emme voi sanoa, mitä tapahtuu, kun x pääsee äärettömyyteen
• mutta näemme, että 1x onko menossa kohti 0

haluamme antaa vastauksen ”0”, mutta emme voi, joten sen sijaan matemaatikot sanovat tarkalleen mitä tapahtuu käyttämällä erikoissanaa ”raja”

1X: n raja X: n lähestyessä ääretöntä on 0

ja kirjoittavat sen näin:

toisin sanoen:

X: n lähestyessä ääretöntä, niin 1x lähestyy arvoa 0

kun näet ”rajan”, ajattele ”lähestyvän”

se on matemaattinen tapa sanoa ”emme puhu siitä, milloin x=∞, mutta tiedämme x: n kasvaessa, vastaus tulee lähemmäksi ja lähemmäs arvoa 0”.

Yhteenveto

niin, joskus äärettömyyttä ei voi käyttää suoraan, mutta voimme käyttää raja-arvoa.

mitä∞: ssä tapahtuu, ei ole määritelty …		1∞
… mutta tiedämme, että 1/x lähestyy 0: ta X: n lähestyessä ääretöntä		limx→∞ (1x) = 0

raja lähestyy ääretöntä

mikä on tämän funktion raja X: n lähestyessä ääretöntä?

y = 2x

ilmeisesti kun ” x ”suurenee, niin myös ”2x”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

niin kuin ”x” lähestyy ääretöntä, niin myös ”2x” lähestyy ääretöntä. Kirjoitamme näin:

mutta älä anna ”=”hämätä. Emme voi itse asiassa päästä äärettömyyteen, mutta” limit ” – kielessä raja on äärettömyys (mikä tarkoittaa oikeastaan sitä, että funktio on rajaton).

äärettömyys ja aste

olemme nähneet kaksi esimerkkiä, toinen meni 0: een, toinen meni äärettömyyteen.

itse asiassa monet äärettömät rajat on itse asiassa varsin helppo selvittää, kun selvitämme ”mihin suuntaan se menee”, näin:

funktiot kuten 1 / x approach 0 X: n lähestyessä ääretöntä. Tämä pätee myös 1 / x2 etc

funktio kuten X lähestyy ääretöntä, samoin kuin 2x, tai x/9 ja niin edelleen. Samoin toiminnot x2 tai x3 jne myös lähestyy ääretöntä.

mutta ole varovainen, funktio kuten ”−x” lähestyy ”−äärettömyyttä”, joten on katsottava X: n merkkejä.

itse asiassa, kun tarkastelemme funktion astetta (funktion suurinta eksponenttia), voimme kertoa mitä tapahtuu:

kun funktion aste on:

• suurempi kuin 0, raja on äärettömyys (tai −äärettömyys)
• alle 0, raja on 0

, mutta jos aste on 0 tai tuntematon, meidän täytyy työskennellä hieman kovemmin löytääksemme rajan.

Rationaalifunktiot

Rationaalifunktio on sellainen, joka on kahden polynomin suhde:		f(x) = P(x)Q(x)
esimerkiksi tässä p(x) = x3 + 2x − 1, ja q(x) = 6×2:

jatkoa meidän ajatus aste yhtälö, ensimmäinen askel löytää raja on …

vertaa P(x): n astetta Q(x):

… raja on 0.

… Jaa termien kertoimet suurimmalla eksponentilla näin:

(huomaa, että suurimmat eksponentit ovat yhtä suuret, koska aste on yhtä suuri)

… silloin raja on positiivinen äärettömyys …

… tai ehkä negatiivinen äärettömyys. Meidän täytyy katsoa merkkejä!

voimme selvittää merkin (positiivisen tai negatiivisen) katsomalla termien merkkejä suurimmalla eksponentilla, aivan kuten löysimme kertoimet yllä:

x3 + 2x − 16×2		esimerkiksi tämä menee positiiviseen äärettömyyteen, koska molemmat … x3 (termi, jolla on suurin eksponentti ylhäällä) ja 6×2 (termi, jolla on suurin eksponentti alhaalla) … ovat positiivisia.
−2×2 + x5x − 3			mutta tämä johtaa negatiiviseen äärettömyyteen, koska -2 / 5 on negatiivinen.

vaikeampi esimerkki: ”E”

Tämä kaava pääsee lähemmäksi E: n (Eulerin luvun) arvoa n: n kasvaessa:

äärettömyydessä:

We don ’ t know!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100 000	2.71827

kyllä, se on menossa kohti arvoa 2,71828… joka on e (Eulerin luku)

joten jälleen meillä on outo tilanne:

• emme tiedä mikä arvo on, kun n=ääretön
• , mutta voimme nähdä, että se asettuu kohti 2.71828…

joten käytämme rajoja kirjoittaaksemme vastauksen näin:

se on matemaattinen tapa sanoa ”emme puhu siitä, milloin n=∞, mutta tiedämme, että kun n suurenee, vastaus tulee yhä lähemmäksi E: n arvoa”.

Evaluating Limits

i have taken a gently approach to limits so far, and showed tables and graphs to illustrate the points.

mutta raja-arvon ”arvioiminen” (toisin sanoen laskeminen) voi vaatia hieman enemmän vaivaa. Lue lisää rajojen arvioinnista.