Læs venligst grænser (En introduktion) først

Infinity er en meget speciel ide. Vi ved, at vi ikke kan nå det, men vi kan stadig forsøge at finde ud af værdien af funktioner, der har uendelighed i dem.

en divideret med uendelig

lad os starte med et interessant eksempel.

hvorfor ved vi det ikke?

den enkleste årsag er, at uendelighed ikke er et tal, det er en ide.

så 1 liter er lidt som at sige 1beauty eller 1tall.

måske kunne vi sige, at 1 liter= 0,… men det er også et problem, for hvis vi deler 1 i uendelige stykker, og de ender med 0 hver, Hvad skete der med 1?

faktisk er 1 liter kendt for at være udefineret.

men vi kan nærme os det!

så i stedet for at forsøge at finde ud af det for uendeligt (fordi vi ikke kan få et fornuftigt svar), lad os prøve større og større værdier af:

x	1x
1	1.00000
2	0.50000
4	0.25000
10	0.10000
100	0.01000
1,000	0.00100
10,000	0.00010

nu kan vi se, at når den bliver større, har 1 gange tendens til 0

Vi står nu over for en interessant situation:

• Vi kan ikke sige, hvad der sker, når den kommer til uendelig
• men vi kan se, at 1h går mod 0

Vi vil give svaret “0”, men kan ikke, så i stedet siger matematikere nøjagtigt, hvad der foregår ved at bruge det specielle ord “grænse”

grænsen på 1h som nærmer sig uendelighed er 0

og skriv det sådan:

med andre ord:

når vi nærmer os uendelighed, så nærmer vi os 1 gange 0

når du ser “grænse”, tænk “nærmer sig”

det er en matematisk måde at sige “vi taler ikke om, når vi er= p, men vi ved, at når vi bliver større, bliver svaret tættere og tættere på 0”.

Resume

så nogle gange kan uendelighed ikke bruges direkte, men vi kan bruge en grænse.

hvad der sker ved Krish er udefineret …		1∞
… men vi ved, at 1/s nærmer sig 0 som s nærmer sig uendelighed		limk (1) = 0

grænser nærmer sig uendelig

Hvad er grænsen for denne funktion, når den nærmer sig uendelig?

y = 2 gange

naturligvis som “H” bliver større, så gør “2 gange”:

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
…	…

så som” H “nærmer sig uendelighed, så nærmer” 2H ” også uendelighed. Vi skriver dette:

men lad dig ikke narre af “=”. Vi kan faktisk ikke komme til uendelig, men i” limit ” – sprog er grænsen uendelig (hvilket virkelig siger, at funktionen er ubegrænset).

uendelighed og grad

Vi har set to eksempler, den ene gik til 0, den anden gik til uendelig.

faktisk er mange uendelige grænser faktisk ret nemme at træne, når vi finder ud af “hvilken vej det går”, som dette:

funktioner som 1/h tilgang 0 som H nærmer sig uendelig. Dette gælder også for 1/H2 etc

en funktion som f.eks. Ligeledes vil funktioner med H2 eller H3 osv. også nærme sig uendelig.

men vær forsigtig, en funktion som “−H” vil nærme sig “−infinity”, så vi er nødt til at se på tegnene på h.

faktisk, når vi ser på graden af funktionen (den højeste eksponent i funktionen), kan vi fortælle, hvad der vil ske:

når graden af funktionen er højere end den:

• større end 0, grænsen er uendelig (eller-uendelig)
• mindre end 0, grænsen er 0

men hvis graden er 0 eller ukendt, skal vi arbejde lidt hårdere for at finde en grænse.

rationelle funktioner

en rationel funktion er en, der er forholdet mellem to polynomier:		f(K) = P(K)K(K)
for eksempel her p(h) = H3 + 2H − 1, og H(H) = 6H2:		h3 + 2h − 16h2

efter vores ide om graden af ligningen er det første skridt at finde grænsen til …

Sammenlign graden af P(H) med graden af K(H):

… grænsen er 0.

… opdel koefficienterne for udtrykkene med den største eksponent, som denne:

(bemærk at de største eksponenter er ens, da graden er ens)

… så er grænsen positiv uendelighed …

… eller måske negativ uendelighed. Vi er nødt til at se på tegnene!

Vi kan udarbejde tegnet (positivt eller negativt) ved at se på tegnene på udtrykkene med den største eksponent, ligesom hvordan vi fandt koefficienterne ovenfor:

h3 + 2H − 16h2			for eksempel vil dette gå til positiv uendelighed, fordi begge … H3 (udtrykket med den største eksponent i toppen) og 6H2 (udtrykket med den største eksponent i bunden) … er positive.
−2H2 + H5H − 3	men dette vil gå for negativ uendelighed, fordi -2 / 5 er negativ.

et hårdere eksempel: arbejder ud “e”

denne formel kommer tættere på værdien af e (Eulers nummer) som n stiger:

Ved uendelig:

Vi ved det ikke!

So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:

n	(1 + 1/n)n
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1,000	2.71692
10,000	2.71815
100.000	2.71827

ja, det er på vej mod værdien 2.71828… hvilket er e (Eulers nummer)

så igen har vi en underlig situation:

• Vi ved ikke, hvad værdien er, når n=infinity
• men vi kan se, at det afregner mod 2.71828…

så vi bruger grænser til at skrive svaret som dette:

det er en matematisk måde at sige “vi taler ikke om, hvornår n= larp, men vi ved, at når n bliver større, bliver svaret tættere og tættere på værdien af e”.

evaluering af grænser

jeg har hidtil taget en mild tilgang til grænser og vist tabeller og grafer for at illustrere punkterne.

men for at” evaluere ” (med andre ord beregne) kan værdien af en grænse tage lidt mere indsats. Læs mere om evaluering af grænser.