Vis Mobilmeddelelse Vis alle noter Skjul alle noter
afsnit 3-4 : Definitionen af en funktion
Vi skal nu flytte ind i det andet emne i dette kapitel. Før vi gør det, men vi har brug for en hurtig definition taget sig af.
Definition af Relation
en relation er et sæt ordnede par.
dette virker som en underlig definition, men vi har brug for det til definitionen af en funktion (som er hovedemnet i dette afsnit). Men før vi faktisk giver definitionen af en funktion, Lad os se, om vi kan få fat på, hvad en relation er.
tænk tilbage til eksempel 1 i Grafafsnittet i dette kapitel. I dette eksempel konstruerede vi et sæt ordnede par, vi brugte til at skitsere grafen for \(y = {\left( {1} \right)^2} – 4\). Her er de bestilte par, som vi brugte.
\
et af følgende er derefter relationer, fordi de består af et sæt ordnede par.
\
der er selvfølgelig mange flere relationer, som vi kunne danne fra listen over bestilte par ovenfor, men vi ville bare liste et par mulige relationer for at give nogle eksempler. Bemærk også, at vi også kunne få andre ordnede par fra ligningen og tilføje dem til et af ovenstående forhold, hvis vi ville.
nu spørger du sandsynligvis bare, hvorfor vi bryr os om relationer, og det er et godt spørgsmål. Nogle relationer er meget specielle og bruges på næsten alle niveauer af matematik. Følgende definition fortæller os, hvilke relationer der er disse særlige relationer.
Definition af en funktion
en funktion er en relation, for hvilken hver værdi fra sættet de første komponenter i de bestilte par er forbundet med nøjagtigt en værdi fra sættet af andre komponenter i det bestilte par.
Okay, det er en mund fuld. Lad os se, om vi kan finde ud af, hvad det betyder. Lad os tage et kig på følgende eksempel, som forhåbentlig vil hjælpe os med at finde ud af alt dette.
fra disse bestilte par har vi følgende sæt af første komponenter (dvs.det første tal fra hvert bestilt par) og anden komponenter (dvs. det andet tal fra hvert bestilt par).
\
for sæt af anden komponenter bemærker, at “-3” forekom i to ordnede par, men vi har kun opført det en gang.
for at se, hvorfor denne relation er en funktion, skal du blot vælge en hvilken som helst værdi fra sættet med de første komponenter. Gå nu tilbage til forholdet og find hvert bestilt par, hvor dette nummer er den første komponent, og angiv alle de andre komponenter fra de bestilte par. Listen over andre komponenter består af nøjagtigt en værdi.
lad os for eksempel vælge 2 fra sæt af første komponenter. Fra forholdet ser vi, at der er nøjagtigt et ordnet par med 2 som en første komponent,\(\left( {2, – 3} \right)\). Derfor er listen over andre komponenter (dvs. listen over værdier fra sæt af andre komponenter) forbundet med 2 er nøjagtigt et tal, -3.
Bemærk, at vi er ligeglade med, at -3 er den anden komponent i en anden ordnet par i forholdet. Det er helt acceptabelt. Vi ønsker bare ikke, at der skal være mere end et bestilt par med 2 som en første komponent.
Vi kiggede på en enkelt værdi fra sæt af første komponenter til vores hurtige eksempel her, men resultatet vil være det samme for alle de andre valg. Uanset valget af de første komponenter vil der være nøjagtigt en anden komponent forbundet med den.
derfor er denne relation en funktion.
for virkelig at få en fornemmelse af, hvad definitionen af en funktion fortæller os, bør vi nok også tjekke et eksempel på en relation, der ikke er en funktion.
Du skal ikke bekymre dig om, hvor denne relation kom fra. Det er kun et, vi har gjort op for dette eksempel.
Her er listen over første og anden komponent
\
fra sæt af første komponenter lad os vælge 6. Hvis vi nu går op til forholdet, ser vi, at der er to ordnede par med 6 som en første komponent : \(\left( {6,10} \right)\) og \(\left( {6, – 4} \right)\). Listen over andre komponenter, der er forbundet med 6, er derefter: 10, -4.
listen over andre komponenter, der er knyttet til 6, har to værdier, og derfor er denne relation ikke en funktion.
Bemærk, at det faktum, at hvis vi havde valgt -7 eller 0 fra sættet med de første komponenter, er der kun et tal på listen over andre komponenter, der er knyttet til hver. Det er lige meget. Det faktum, at vi endda fandt en enkelt værdi i sæt af første komponenter med mere end et sekund komponent forbundet med det, er nok til at sige, at dette forhold ikke er en funktion.
som en sidste kommentar til dette eksempel skal vi bemærke, at hvis vi fjernede det første og/eller det fjerde bestilte par fra forholdet, ville vi have en funktion!
så forhåbentlig har du i det mindste en følelse af, hvad definitionen af en funktion fortæller os.
nu hvor vi har tvunget dig til at gennemgå den faktiske definition af en funktion, Lad os give en anden “fungerende” definition af en funktion, der vil være meget mere nyttig for det, vi laver her.
den faktiske definition fungerer på en relation. Imidlertid, som vi så med de fire relationer, vi gav forud for definitionen af en funktion og den relation, vi brugte i Eksempel 1, får vi ofte relationerne fra en eller anden ligning.
det er vigtigt at bemærke, at ikke alle relationer kommer fra ligninger! Forholdet fra det andet eksempel var for eksempel bare et sæt ordnede par, vi skrev ned for eksemplet og kom ikke fra nogen ligning. Dette kan også være tilfældet med relationer, der er funktioner. De behøver ikke at komme fra ligninger.
men når det er sagt, kommer de funktioner, vi skal bruge i dette kursus, alle fra ligninger. Lad os derfor skrive ned en definition af en funktion, der anerkender denne kendsgerning.
før vi giver den “arbejdende” definition af en funktion, skal vi påpege, at dette ikke er den egentlige definition af en funktion, der er angivet ovenfor. Dette er simpelthen en god “arbejdsdefinition” af en funktion, der binder ting til de slags funktioner, som vi vil arbejde med i dette kursus.
“arbejdsdefinition” af funktion
en funktion er en ligning, for hvilken enhver \(H\), der kan tilsluttes ligningen, vil give nøjagtigt en \(y\) ud af ligningen.
Der er det. Det er definitionen af funktioner, som vi skal bruge og vil sandsynligvis være lettere at dechiffrere, hvad det betyder.
før vi undersøger dette lidt mere Bemærk, at vi brugte sætningen” \(H\), der kan tilsluttes ” i definitionen. Dette har en tendens til at antyde, at ikke alle \’S kan tilsluttes en ligning, og det er faktisk korrekt. Vi vil komme tilbage og diskutere dette mere detaljeret mod slutningen af dette afsnit, men på dette tidspunkt skal du bare huske, at vi ikke kan dele med nul, og hvis vi vil have reelle tal ud af ligningen, kan vi ikke tage kvadratroden af et negativt tal. Så med disse to eksempler er det klart, at vi ikke altid vil være i stand til at tilslutte hver \(h\) til nogen ligning.når vi beskæftiger os med funktioner, antager vi altid, at både \(h\) og \(y\) vil være reelle tal. Med andre ord vil vi glemme, at vi ved noget om komplekse tal for en lille smule, mens vi beskæftiger os med dette afsnit.
Okay, med det ude af vejen lad os komme tilbage til definitionen af en funktion og lad os se på nogle eksempler på ligninger, der er funktioner og ligninger, der ikke er funktioner.
- \(y = 5 gange + 1\)
- \(y = {2} + 1\)
- \({y^2} = + 1\)
- \({2} + {y^2} = 4\)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
den “fungerende” definition af funktion siger, at hvis vi tager alle mulige værdier af \og sæt dem i ligningen og løse for\ (Y\) vi får nøjagtigt en værdi for hver værdi af\ (h\). På dette stadium af spillet kan det være ret svært at faktisk vise, at en ligning er en funktion, så vi vil for det meste tale os igennem det. På den anden side er det ofte ret nemt at vise, at en ligning ikke er en funktion.
A \(y = 5 gange + 1\) Vis løsning
så vi er nødt til at vise, at uanset hvad \(h\) vi tilslutter ligningen og løser for \(y\), får vi kun en enkelt værdi af \(y\). Bemærk også, at værdien af \(y\) sandsynligvis vil være forskellig for hver værdi af \(H\), selvom det ikke behøver at være.
lad os starte dette ved at tilslutte nogle værdier af \(H\) og se hvad der sker.så for hver af disse værdier af \(H\) fik vi en enkelt værdi af \(y\) ud af ligningen. Nu er dette ikke tilstrækkeligt til at hævde, at dette er en funktion. For officielt at bevise, at dette er en funktion, skal vi vise, at dette vil fungere, uanset hvilken værdi af \(H\) vi sætter ind i ligningen.
selvfølgelig kan vi ikke sætte alle mulige værdier af \(H\) i ligningen. Det er bare ikke fysisk muligt. Lad os dog gå tilbage og se på dem, vi pluggede ind. For hver \(h\) multiplicerede vi først \(h\) med 5 og tilføjede derefter 1 på den. Nu, hvis vi multiplicerer et tal med 5, får vi en enkelt værdi fra multiplikationen. Ligeledes får vi kun en enkelt værdi, hvis vi tilføjer 1 til et tal. Derfor synes det plausibelt, at baseret på de operationer, der er involveret i at tilslutte \(h\) til ligningen, at vi kun får en enkelt værdi af \(y\) ud af ligningen.
så denne ligning er en funktion.
b \(y = {^2} + 1\) Vis løsning
igen, lad os tilslutte et par værdier af \(H\) og løse for \(y\) for at se, hvad der sker.
\
lad os nu tænke lidt over, hvad vi gjorde med evalueringerne. For det første kvadrerede vi værdien af \(H\), som vi tilsluttede. Når vi kvadrerer et tal, vil der kun være en mulig værdi. Vi tilføjer derefter 1 på dette, men igen vil dette give en enkelt værdi.
så det ser ud til, at denne ligning også er en funktion.
Bemærk, at det er okay at få den samme \(y\) værdi for forskellige \(h\)’S. for eksempel
\
Vi kan bare ikke få mere end en \(y\) ud af ligningen, når vi har tilsluttet \(h\).
c \({y^2} = H + 1\) Vis løsning
som vi har gjort med de to foregående ligninger, lad os tilslutte et par værdier af \(H\), løse for \(y\) og se, hvad vi får.husk nu, at vi løser for \(y\), og det betyder, at vi i det første og sidste tilfælde ovenfor faktisk får to forskellige \(y\) værdier ud af \(H\), og så er denne ligning ikke en funktion.
Bemærk, at vi kan have værdier på \(H\), der giver en enkelt \(y\) som vi har set ovenfor, men det betyder ikke noget. Hvis selv en værdi af \giver mere end en værdi af \(y\) ved løsning af ligningen, vil det ikke være en funktion.
hvad dette virkelig betyder er, at vi ikke behøvede at gå længere end den første evaluering, da det gav flere værdier af \(y\).
d \({2} + {y^2} = 4\) Vis løsning
Med dette tilfælde bruger vi lektionen, der er lært i den foregående del, og ser om vi kan finde en værdi på \(H\), der giver mere end en værdi af \(y\) ved løsning. Fordi vi har en y2 i problemet, bør det ikke være for svært at gøre, da løsningen i sidste ende vil betyde at bruge kvadratroden, som vil give mere end en værdi af \(y\).
\
så denne ligning er ikke en funktion. Husk, at fra det foregående afsnit er dette ligningen af en cirkel. Cirkler er aldrig funktioner.
forhåbentlig har disse eksempler givet dig en bedre fornemmelse for, hvad en funktion faktisk er.
Vi skal nu flytte til noget, der hedder funktionsnotation. Funktionsnotation vil blive brugt kraftigt gennem de fleste af de resterende kapitler i dette kursus, og det er derfor vigtigt at forstå det.
lad os starte med følgende kvadratiske ligning.
\
Vi kan bruge en proces svarende til det, vi brugte i det foregående sæt eksempler for at overbevise os selv om, at dette er en funktion. Da dette er en funktion, vil vi betegne det som følger,
\
så vi erstattede \(y\) med notationen \(f\venstre( h \højre)\). Dette læses som “f af \(H\)”. Bemærk, at der ikke er noget særligt om \(f\) vi brugte her. Vi kunne bare nemt have brugt et af følgende,
\
det brev, vi bruger, betyder ikke noget. Det, der er vigtigt, er “\(\left( h \right)\)” – delen. Brevet i parentesen skal svare til variablen, der bruges på højre side af lighedstegnet.
det er meget vigtigt at bemærke, at \(f\venstre( h \højre)\) er virkelig intet andet end en rigtig fancy måde at skrive \(y\) på. Hvis du holder det i tankerne, kan du opleve, at det bliver lidt lettere at håndtere funktionsnotation.
Dette er heller ikke en multiplikation af \(f\) med \(H\)! Dette er en af de mere almindelige fejl, folk laver, når de først beskæftiger sig med funktioner. Dette er kun en notation, der bruges til at betegne funktioner.
næste skal vi tale om evaluering af funktioner. Evaluering af en funktion er virkelig intet andet end at spørge, hvad dens værdi er for specifikke værdier af \(H\). En anden måde at se på det er, at vi spørger, Hvad \(y\) værdien for en given \(H\) er.
evaluering er virkelig ret simpelt. Lad os tage den funktion, vi kiggede på ovenfor
\
og spørge, hvad dens værdi er for \(H = 4\). Med hensyn til funktionsnotation vil vi “spørge” dette ved hjælp af notationen \(f\left( 4 \right)\). Så når der er noget andet end variablen inde i parentesen, spørger vi virkelig, hvad værdien af funktionen er for den pågældende mængde.
nu, når vi siger værdien af funktionen, spørger vi virkelig, hvad værdien af ligningen er for den pågældende værdi af \(H\). Her er \(f \ Venstre (4 \ højre)\).
\
Bemærk, at evaluering af en funktion udføres på nøjagtig samme måde, som vi evaluerer ligninger. Alt, hvad vi gør, er at tilslutte til alt, hvad der er på indersiden af parentesen til venstre. Her er en anden evaluering for denne funktion.
\
så igen, hvad der er på indersiden af parentesen til venstre er tilsluttet for \(H\) i ligningen til højre. Lad os se på nogle flere eksempler.
- \(f\left( 3 \right)\) og \(g\left( 3 \right)\)
- \(f\left( { – 10} \right)\) og \(g\left( { – 10} \right)\)
- \(f\left( 0 \right)\)
- \(f\left( t \right)\)
- \(f\left (t + 1} \højre)\) og \(f\venstre ({1} \højre)\)
- \(f\venstre ({{3}} \højre)\)
- \(g\venstre ({{^^2} – 5} \højre)\)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
okay, vi har to funktionsevalueringer at gøre her, og vi har også to funktioner, så vi bliver nødt til at beslutte, hvilken funktion til brug for evalueringerne. Nøglen her er at lægge mærke til brevet, der er foran parentesen. For \(f\left(3 \right)\) bruger vi funktionen \(f\left(h \right)\) og for \(g\left(3 \right)\) bruger vi \(g\left (h \right)\). Med andre ord skal vi bare sørge for, at variablerne stemmer overens.
Her er evalueringerne for denne del.
\
b \(f\left( { – 10} \right)\) og \(g\left( { – 10} \right)\) Vis løsning
Denne er stort set den samme som den foregående del med en undtagelse, som vi berører, når vi når det punkt. Her er evalueringerne.
\
sørg for, at du håndterer de negative tegn korrekt her. Nu den anden.
\
Vi har nu nået forskellen. Husk, at da vi først begyndte at tale om definitionen af funktioner, sagde vi, at vi kun skulle beskæftige os med reelle tal. Med andre ord tilslutter vi kun reelle tal, og vi vil kun have reelle tal tilbage som svar. Så da vi ville få et komplekst tal ud af dette, kan vi ikke tilslutte -10 til denne funktion.
c \(f\venstre( 0 \højre)\) Vis løsning
ikke meget til denne.
\
igen, glem ikke, at dette ikke er multiplikation! Af en eller anden grund kan eleverne tænke på denne som multiplikation og få et svar på nul. Vær forsigtig.
d \(f\left( t \right)\) Vis løsning
resten af disse evalueringer vil nu være lidt anderledes. Som denne viser, behøver vi ikke bare at have tal i parentesen. Evaluering fungerer dog på nøjagtig samme måde. Vi sætter ind i \ ‘ S på højre side af lighedstegnet, hvad der er i parentesen. I dette tilfælde betyder det, at vi tilslutter \(t\) for alle \(H\)’s.
Her er denne evaluering.
\
Bemærk, at dette i dette tilfælde er stort set det samme som vores oprindelige funktion, undtagen denne gang bruger vi \(t\) som en variabel.
e \(F\left( {t + 1} \right)\) og \(f\left( {1} \right)\) Vis løsning
lad os nu blive lidt mere komplicerede, eller i det mindste synes de at være mere komplicerede. Ting er dog ikke så dårlige, som de kan se ud. Vi vurderer \(f \ left ({t + 1} \right)\) først. Denne fungerer nøjagtigt den samme som den foregående del gjorde. Alle \ ‘ S til venstre vil blive erstattet med \(t + 1\). Vi vil også have en vis forenkling at gøre efter udskiftningen.
\
vær forsigtig med parentes i denne slags evalueringer. Det er let at ødelægge dem.
lad os nu se på \(f\left( {1} \right)\). Med undtagelse af \(H\) er dette identisk med \(f\left ({t + 1} \right)\) og så fungerer det nøjagtigt på samme måde.
\
bliv ikke begejstret for det faktum, at vi genbrugte \’s i evalueringen her. Mange steder, hvor vi vil gøre dette i senere sektioner, vil der være \(H\)’S her, og så bliver du nødt til at vænne dig til at se det.
f \(f\left( {{3}} \right)\) Vis løsning
igen, bliv ikke begejstret for \(H\)’S i parentesen her. Bare vurder det som om det var et tal.
\
g \(g\left( {{2} – 5} \right)\) Vis løsning
en mere evaluering, og denne gang bruger vi den anden funktion.
\
Funktionsevaluering er noget, vi vil gøre meget i senere sektioner og kapitler, så sørg for at du kan gøre det. Du vil finde flere senere afsnit meget vanskeligt at forstå og/eller gøre arbejdet i, hvis du ikke har en god forståelse for, hvordan funktion evaluering fungerer.
mens vi er ved emnet funktionsevaluering, skal vi nu tale om stykkevis funktioner. Vi har faktisk allerede set et eksempel på en stykkevis funktion, selvom vi ikke kaldte det en funktion (eller en stykkevis funktion) på det tidspunkt. Husk den matematiske definition af absolut værdi.
\
dette er en funktion, og hvis vi bruger funktionsnotation, kan vi skrive den som følger,
\
dette er også et eksempel på en stykkevis funktion. En stykkevis funktion er intet andet end en funktion, der er brudt i stykker, og hvilket stykke du bruger afhænger af værdien af \(H\). Så i det absolutte værdieksempel bruger vi det øverste stykke, hvis \(H\) er positivt eller nul, og vi bruger det nederste stykke, hvis \(H\) er negativt.
lad os se på evaluering af en mere kompliceret stykkevis funktion.
Evaluer hvert af følgende.
- \(g\left( { – 6} \right)\)
- \(g\left( { – 4} \right)\)
- \(g\left( 1 \right)\)
- \(g\left( {15} \right)\)
- \(g\left( {21} \right)\)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
før vi starter evalueringerne her, lad os bemærke, at vi bruger forskellige bogstaver til funktionen og variablen end dem, vi har brugt til dette punkt. Det ændrer ikke på, hvordan evalueringen fungerer. Bliv ikke så låst til at se \(f\) for funktionen og \(H\) for variablen, at du ikke kan gøre noget problem, der ikke har disse bogstaver.
for at gøre hver af disse evalueringer er det første, vi skal gøre, at bestemme, hvilken ulighed antallet opfylder, og det vil kun tilfredsstille en enkelt ulighed. Når vi bestemmer, hvilken ulighed antallet opfylder, bruger vi ligningen forbundet med denne ulighed.
så lad os lave nogle evalueringer.
a \(g\left( { – 6} \right)\) Vis løsning
i dette tilfælde -6 opfylder den øverste ulighed, og så bruger vi den øverste ligning til denne evaluering.
\
b \(g\left( { – 4} \right)\) Vis løsning
nu skal vi være lidt forsigtige med denne, da -4 vises i to af ulighederne. Det opfylder dog kun den øverste ulighed, og så bruger vi igen topfunktionen til evalueringen.
\
c \(g\left( 1 \right)\) Vis løsning
i dette tilfælde opfylder tallet 1 den midterste ulighed, og så bruger vi den midterste ligning til evalueringen. Denne evaluering skaber ofte problemer for studerende på trods af at det faktisk er en af de nemmeste evalueringer, vi nogensinde vil gøre. Vi ved, at vi vurderer funktioner/ligninger ved at tilslutte nummeret til variablen. I dette tilfælde er der ingen variabler. Det er ikke noget problem. Da der ikke er nogen variabler, betyder det bare, at vi faktisk ikke tilslutter noget, og vi får følgende,
\
d \(g\left( {15} \right)\) Vis løsning
igen, som med den anden del skal vi være lidt forsigtige med denne. I dette tilfælde opfylder tallet den midterste ulighed, da det er det med lighedstegnet i det. Så ligesom den foregående del får vi bare,
\
bliv ikke begejstret for, at de to foregående evalueringer var den samme værdi. Dette vil ske lejlighedsvis.
e \(g\left( {21} \right)\) Vis løsning
til den endelige evaluering i dette eksempel opfylder tallet den nederste ulighed, og så bruger vi den nederste ligning til evalueringen.
\
stykkevis funktioner opstår ikke så ofte i en Algebra klasse, men de opstår flere steder i senere klasser, og det er derfor vigtigt for dig at forstå dem, hvis du skal gå videre til flere matematikklasser.
som et sidste emne er vi nødt til at komme tilbage og røre ved det faktum, at vi ikke altid kan tilslutte hver \(h\) til hver funktion. Vi talte kort om dette, da vi gav definitionen af funktionen, og vi så et eksempel på dette, da vi evaluerede funktioner. Vi skal nu se på dette lidt mere detaljeret.
først skal vi få et par definitioner ud af vejen.
Domæne og rækkevidde
domænet for en ligning er det sæt af alle \’er, som vi kan tilslutte til ligningen og få tilbage et reelt tal for\(y\). Rækken af en ligning er det sæt af alle \(y\)’s, som vi nogensinde kan komme ud af ligningen.
Bemærk, at vi mente at bruge ligning i definitionerne ovenfor i stedet for funktioner. Disse er virkelig definitioner for ligninger. Men da funktioner også er ligninger, kan vi også bruge definitionerne til funktioner.
at bestemme rækkevidden af en ligning/funktion kan være ret svært at gøre for mange funktioner, og så kommer vi ikke rigtig ind i det. Vi er meget mere interesserede her i at bestemme domæner af funktioner. Fra definitionen er domænet det sæt af alle \’er, som vi kan tilslutte til en funktion og få et rigtigt tal tilbage. På dette tidspunkt betyder det, at vi skal undgå division med nul og tage firkantede rødder af negative tal.
lad os lave et par hurtige eksempler på at finde domæner.
- \(\displaystyle g \ left (h \right) = \frac{{s + 3}} {{{s^2} + 3s-10}}\)
- \(f \ left (h \right) = \s {5 – 3s}\)
- \(\displaystyle h \left( h \right) = \frac {{\SV {7s + 8}}} {{{s^2} + 4}}\)
- \(\displaystyle R \ left (h \right) = \ frac {{\SV {10H – 5} }} {{{SV^2} – 16}}\)
Vis alle løsninger Skjul alle løsninger
domænerne for disse funktioner er alle værdierne for \(H\), som vi ikke har division med nul eller kvadratroden af et negativt tal. Hvis vi husker disse to ideer, vil det være ret nemt at finde domænerne.
a \(\displaystyle g\left( h \right) = \frac{{H + 3}}{{{h^2} + 3h – 10}}\) Vis løsning
så i dette tilfælde er der ingen firkantede rødder, så vi behøver ikke bekymre os om kvadratroden af et negativt tal. Der er dog en mulighed for, at vi får en division med nul fejl. For at afgøre, om vi bliver nødt til at indstille nævneren lig med nul og løse.
\
så vi får division med nul, hvis vi tilslutter \(h = – 5\) eller \(H = 2\). Det betyder, at vi bliver nødt til at undgå disse to tal. Men alle de andre værdier af \(H\) vil fungere, da de ikke giver division med nul. Domænet er så,
\
b \(f\left( h \right) = \KVRT {5 – 3H} \) Vis løsning
i dette tilfælde vil vi ikke have division med nul problemer, da vi ikke har nogen fraktioner. Vi har en kvadratrod i problemet, og så bliver vi nødt til at bekymre os om at tage kvadratroden af et negativt tal.
denne kommer til at fungere lidt anderledes end den foregående del. I den del bestemte vi værdien(r) af \(H\) for at undgå. I dette tilfælde vil det være lige så nemt at få domænet direkte. For at undgå firkantede rødder af negative tal er alt, hvad vi skal gøre, at
\
Dette er en ret simpel lineær ulighed, som vi skal kunne løse på dette tidspunkt.
\
domænet for denne funktion er så
\
c \(\displaystyle h\left( h \right) = \frac{{\KVRT {7H8} }}{{{H^ ^ 2} + 4}}\) Vis løsning
i dette tilfælde har vi en brøkdel, men bemærk, at nævneren aldrig vil være nul for noget reelt tal, da H2 garanteres at være positiv eller nul, og tilføjelse af 4 på dette vil betyde, at nævneren er altid mindst 4. Med andre ord vil nævneren aldrig være nul. Så alt, hvad vi skal gøre, er at bekymre os om kvadratroden i tælleren.
for at gøre dette kræver vi,
\
nu kan vi faktisk tilslutte en hvilken som helst værdi af \(H\) til nævneren, men da vi har kvadratroden i tælleren, skal vi sørge for, at alle \(H\) opfylder uligheden ovenfor for at undgå problemer. Derfor er domænet for denne funktion
\
d \(\displaystyle R\left( h \right) = \frac{{\KVRT {10H – 5} }}{{{H^2} – 16}}\) Vis løsning
i denne sidste del har vi både en kvadratrod og division med nul at bekymre os om. Lad os tage os af kvadratroden først, da dette sandsynligvis vil sætte den største begrænsning på værdierne af \(H\). Så for at holde kvadratroden glad (dvs. ingen kvadratroden af negative tal) skal vi kræve det,
\
så i det mindste skal vi kræve det \(ge \frac{1}{2}\) for at undgå problemer med kvadratroden.
lad os nu se, om vi har nogen opdeling med nulproblemer. Igen, for at gøre dette skal du blot indstille nævneren lig med nul og løse.
\
Bemærk nu, at \(=- 4\) ikke tilfredsstiller den ulighed, vi har brug for for kvadratroden, og at værdien af \(H\) allerede er udelukket af kvadratroden. På den anden side tilfredsstiller \(4\) uligheden. Det betyder, at det er okay at sætte \(4\) i kvadratroden, men da det ville give division med nul, bliver vi nødt til at undgå det.
domænet for denne funktion er derefter
\