en berømt og vigtig sekvens er Fibonacci-sekvensen, opkaldt efter den italienske matematiker kendt som Leonardo Pisano, hvis kaldenavn var Fibonacci, og som levede fra 1170 til 1230. Denne sekvens er:
\
denne sekvens er defineret rekursivt. Dette betyder, at hvert udtryk er defineret af de foregående udtryk.
og så videre.
Fibonacci-sekvensen er defineret af
med andre ord, for at få det næste udtryk i sekvensen, tilføj de to foregående udtryk.
\
notationen, som vi vil bruge til at repræsentere Fibonacci-sekvensen, er som følger:
\
eksempel \(\Sideindeks{1}\): Find Fibonacci-numre rekursivt
Find det 13., 14. og 15. Fibonacci-tal ved hjælp af ovenstående rekursive definition for Fibonacci-sekvensen.
bemærk først, at der allerede er 12 Fibonacci-numre, der er anført ovenfor, så for at finde de næste tre Fibonacci-numre tilføjer vi blot de to foregående udtryk for at få det næste udtryk, som definitionen siger.
derfor er det 13., 14. og 15. Fibonacci-tal henholdsvis 233, 377 og 610.
beregning af vilkår for Fibonacci-sekvensen kan være kedelig, når man bruger den rekursive formel, især når man finder udtryk med en stor n. Heldigvis opdagede en matematiker ved navn Leonhard Euler en formel til beregning af ethvert Fibonacci-nummer. Denne formel gik tabt i omkring 100 år og blev genopdaget af en anden matematiker ved navn Binet. Den oprindelige formel, kendt som Binet ‘ s formel, er nedenfor.
Binet ‘s formel: det nth Fibonacci-nummer er givet ved følgende formel:
\}{\KVRT{5}}\]
Binet’ s formel er et eksempel på en eksplicit defineret sekvens. Dette betyder, at Vilkår for sekvensen ikke er afhængige af tidligere vilkår.
en noget mere brugervenlig, forenklet version af Binet ‘ s formel bruges undertiden i stedet for den ovenfor.
Binet ‘ s forenklede formel: Nth Fibonacci-nummeret er givet ved følgende formel:
Bemærk: symbolet
eksempel \(\Sideindeks{2}\): Find 
Find værdien af
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Antallet af grene på nogle træer eller antallet af kronblade af nogle tusindfryd er ofte Fibonacci-tal
figur \(\Sideindeks{4}\): Fibonacci-tal og tusindfryd
a. Daisy med 13 kronblade b. Daisy med 21 kronblade
a. 
(tusindfryd, N.D.)
Fibonacci-tal vises også i spiralvækstmønstre såsom antallet af spiraler på en kaktus eller i solsikkefrø.
figur \(\Sideindeks{5}\): Fibonacci-tal og Spiralvækst
a. Kaktus med 13 spiraler med uret B. Solsikke med 34 spiraler med uret og 55 spiraler mod uret
a. 
(kaktus, n.d.) (solsikke, n.d.)
en anden interessant kendsgerning opstår, når man ser på forholdet mellem på hinanden følgende Fibonacci og tal.
det ser ud til, at disse forhold nærmer sig et tal. Tallet, som disse forhold nærmer sig, er et specielt tal kaldet Det gyldne forhold, der er betegnet med 
Det gyldne forhold:
\
Det gyldne forhold har decimaltilnærmelsen af \(\phi=1.6180339887\).
Det gyldne forhold er et specielt tal af forskellige årsager. Det kaldes også den guddommelige andel, og det vises i kunst og arkitektur. Det hævdes af nogle at være det mest behagelige forhold til øjet. For at finde dette forhold skar grækerne en længde i to dele, og lad det mindre stykke svare til en enhed. Det mest behagelige snit er, når forholdet mellem hele længden 
Det gyldne forhold er en løsning på den kvadratiske ligning
det virkede!
et andet interessant forhold mellem Det gyldne forhold og Fibonacci-sekvensen opstår, når der tages beføjelser til 
og så videre.
Bemærk, at koefficienterne for
gylden Strømregel: \(\phi^{n}=f_{n} \ phi + F_{n-1}\)
hvor\(f_{n}\) er det n ‘ te Fibonacci-nummer og \(\phi\) er det gyldne forhold.
eksempel \(\Sideindeks{5}\): kræfter i det gyldne forhold
Find følgende ved hjælp af den gyldne strømregel: a.
