Prosím, přečtěte si Limity (Úvod) první
Nekonečno je velmi zvláštní nápad. Víme, že toho nemůžeme dosáhnout, ale stále se můžeme pokusit zjistit hodnotu funkcí, které v sobě mají nekonečno.
jeden dělený nekonečnem
začněme zajímavým příkladem.
otázka: Jaká je hodnota 1∞ ?
odpověď: nevíme!
proč to nevíme?
nejjednodušším důvodem je, že Nekonečno není číslo, je to nápad.
takže 1∞ je trochu jako říkat 1beauty nebo 1tall.
možná bychom mohli říci, že 1∞= 0, … ale to je také problém, protože pokud rozdělíme 1 na nekonečné kousky a skončí 0 každý, co se stalo s 1?
ve skutečnosti je známo, že 1∞ není definován.
ale můžeme se k tomu přiblížit!
takže místo toho, abychom se snažili pracovat na nekonečnu (protože nemůžeme dostat rozumnou odpověď), zkusme větší a větší hodnoty x:
| x | 1x |
| 1 | 1.00000 |
| 2 | 0.50000 |
| 4 | 0.25000 |
| 10 | 0.10000 |
| 100 | 0.01000 |
| 1,000 | 0.00100 |
| 10,000 | 0.00010 |
Nyní můžeme vidět, že jak se x zvětšuje, 1x tendenci k 0
Jsme nyní potýkají s zajímavé situaci:
- nemůžeme říct, co se stane, když se x dostane k nekonečnu
- Ale můžeme vidět, že 1x se jde k 0
chceme dát odpověď „0“, ale nemůže, takže místo toho, matematici říkají přesně to, co se děje pomocí speciální slovo „limit“
limit 1x když x se blíží Nekonečnu je 0.
A to napsat takhle:
jinými slovy:
Jak se x blíží nekonečnu, pak 1 x blížící se k 0
Když vidíte, „limit“, že „se blíží“
To je matematický způsob, jak říct „nemluvíme o tom, když x=∞, ale víme, jak se x zvětšuje, odpověď dostane blíž a blíž k 0“.
shrnutí
takže někdy Nekonečno nelze použít přímo, ale můžeme použít limit.
| co se stane v∞, není definováno … | 1∞ |  |
||
| … ale víme, že 1/x se blíží k 0 jak se x blíží nekonečnu, |
limx→∞ (1x) = 0
|
 |
Limity Blížící se Nekonečnu
Co je limita této funkce pro x jdoucí k nekonečnu?
y = 2x
je zřejmé, že „x“ se zvětšuje, stejně tak „2x“:
| x | y=2x |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 8 |
| 10 | 20 |
| 100 | 200 |
| … | … |
takže když se „x“ blíží nekonečnu, pak se“ 2x “ také blíží nekonečnu. Píšeme toto:
ale nenechte se zmást „=“. Ve skutečnosti se nemůžeme dostat do nekonečna, ale v jazyce „limit“ je limit nekonečno (což ve skutečnosti říká, že funkce je neomezená).
Nekonečno a stupeň
viděli jsme dva příklady, jeden šel na 0, druhý šel do nekonečna.
ve skutečnosti je mnoho nekonečných limitů ve skutečnosti docela snadné zjistit, když zjistíme, „kudy to jde“, například:
funkce jako 1 / x se blíží 0, když se x blíží nekonečnu. To platí i pro 1 / x2 etc
funkce jako x se přiblíží nekonečnu, stejně jako 2x, nebo x/9 a tak dále. Podobně funkce s x2 nebo x3 atd. se také přiblíží nekonečnu.
, Ale pozor, funkce, jako je „−x“ bude blížit „−nekonečno“, takže se musíme podívat na znamení x.
Příklad: 2×2−5x
- 2×2 zamíří k +nekonečnu
- −5x zamíří směrem k -nekonečnu,
- Ale x2 roste rychleji než x, tak 2×2−5x zamíří k +nekonečnu
Ve skutečnosti, když se podíváme na Stupeň funkce (nejvyšší exponent ve funkci) můžeme říct, co se bude dít:
je-li Stupeň funkce je:
- větší než 0, je hranice nekonečna (nebo −nekonečno)
- menší než 0, limit je 0
Ale pokud Stupeň je 0 nebo neznámé pak musíme pracovat trochu těžší najít limit.
Racionální Funkce
| Racionální Funkce je ten, který je poměrem dvou polynomů: |
f(x) = P(x)Q(x)
|
|
| například, zde P(x) = x3 + 2x − 1, a Q(x) = 6×2: |
x3 + 2x − 16×2
|
v Návaznosti na naše představa o Stupeň Rovnice, prvním krokem najít hranice je …
Porovnejte stupeň P(x) se stupněm Q(x):
… limit je 0.
… rozdělte koeficienty termínů s největším exponentem takto:
(všimněte si, že největší exponenty jsou stejné, protože stupeň je stejný)
… pak je limit kladný nekonečno …
… nebo možná záporné nekonečno. Musíme se podívat na znamení!
můžeme pracovat ven znamení (kladné nebo záporné) při pohledu na znamení podmínek s největší exponent, stejně jako, jak jsme zjistili, koeficienty výše:
|
x3 + 2x − 16×2
|
například tohle půjde do kladné nekonečno, protože oba …
… jsou pozitivní. |
|
|
−2×2 + x5x − 3
|
Ale to bude hlava na negativní nekonečna, protože -2/5 je záporné. |
Těžší Příklad: cvičit „e“
Tento vzorec dostane blíže k hodnotě e (Eulerovo číslo), jak roste n:
V nekonečnu:
nevíme!
So instead of trying to work it out for infinity (because we can’t get a sensible answer), let’s try larger and larger values of n:
| n | (1 + 1/n)n |
|---|---|
| 1 | 2.00000 |
| 2 | 2.25000 |
| 5 | 2.48832 |
| 10 | 2.59374 |
| 100 | 2.70481 |
| 1,000 | 2.71692 |
| 10,000 | 2.71815 |
| 100,000 | 2.71827 |
Ano, to je směrem na hodnoty 2.71828… což je e (Eulerovo Číslo)
Takže zase máme zvláštní situaci:
- nevíme, co je hodnota, kdy n=nekonečno
- Ale můžeme vidět, že se to usadí k 2.71828…
takže používáme limity k napsání odpovědi takto:
je to matematický způsob, jak říci „nemluvíme o tom, kdy n=∞, ale víme, jak se n zvětšuje, odpověď se přibližuje a přibližuje hodnotě e“.
nedělejte to špatně … !
Pokud se pokusíme použít nekonečno jako “ velmi velké reálné číslo „(není!) dostaneme:
(špatně!) takže se nesnažte použít Nekonečno jako reálné číslo: můžete získat špatné odpovědi!
limity jsou tou správnou cestou.
Hodnocení Limity
vzal jsem jemný přístup na limity tak daleko, a uvedené tabulky a grafy pro ilustraci bodů.
ale „vyhodnotit „(jinými slovy vypočítat) hodnota limitu může vyžadovat trochu více úsilí. Více se dozvíte při vyhodnocování limitů.