slavný a důležitý sekvence je Fibonacciho posloupnost, pojmenován po italský matematik známý jako Leonardo Pisano, jehož přezdívka byla Fibonacciho, a který žil v letech 1170-1230. Tato sekvence je:
\
tato sekvence je definována rekurzivně. To znamená, že každý termín je definován předchozími termíny.
a tak dále.
Fibonacciho posloupnost je definována 
jinými slovy, Chcete-li získat další termín v pořadí, přidejte dva předchozí termíny.
\
značení, které budeme používat k reprezentaci Fibonacciho posloupnost je následující:
\
Například \(\PageIndex{1}\): Hledání Fibonacciho Čísel Rekurzivně
Zjistěte, 13., 14., a 15. Fibonacciho čísla pomocí výše uvedené rekurzivní definice Fibonacciho posloupnosti.
za Prvé, všimněte si, že existuje již 12 Fibonacciho čísel uvedených výše, takže najít další tři Fibonacciho čísla, jednoduše přidáme dvě předchozí podmínky, aby se další termín jako definice státy.
Proto, 13., 14., a 15. Fibonacciho čísla jsou, 233, 377, 610, resp.
výpočet podmínek Fibonacciho posloupnosti může být zdlouhavý při použití rekurzivního vzorce, zejména při hledání termínů s velkým n. Naštěstí matematik jménem Leonhard Euler objevil vzorec pro výpočet libovolného Fibonacciho čísla. Tento vzorec byl ztracen asi 100 let a byl znovu objeven jiným matematikem jménem Jacques Binet. Původní vzorec, známý jako Binetův vzorec, je níže.
Binetův vzorec: n-tý Fibonacciho číslo je dáno následujícím vzorcem:
\} {\sqrt{5}}\]
Binetův vzorec je příkladem explicitně definované sekvence. To znamená, že podmínky sekvence nejsou závislé na předchozích termínech.
místo výše uvedeného se někdy používá poněkud uživatelsky přívětivější zjednodušená verze Binetova vzorce.
Binet je Zjednodušený Vzorec: n-Té Fibonacciho číslo se vypočítá podle následujícího vzorce:
Poznámka: symbol 
Například \(\PageIndex{2}\): Hledání 
Najít hodnotu
Example \(\PageIndex{3}\): Finding 
Find the value of 
Example \(\PageIndex{4}\): Finding 
Find the value of 
All around us we can find the Fibonacci numbers in nature. Počet větví na stromy nebo počet okvětních lístků některých sedmikrásky jsou často Fibonacciho čísla,
Obrázek \(\PageIndex{4}\): Fibonacciho Čísla a Sedmikrásky
. Daisy s 13 lístků b. Daisy s 21 lístků,
. 
(Sedmikrásky, n.d.)
myslet, že Fibonacciho čísla se objevují také ve spirále růstu vzory, jako je počet spirál na kaktus nebo slunečnice osiva postele.
obrázek \(\PageIndex{5}\): Fibonacciho čísla a růst spirály
a. Kaktus s 13 spirál ve směru hodinových ručiček. b. Slunečnice s 34 spirál ve směru hodinových ručiček a 55 spirály proti směru hodinových ručiček
. 
(Kaktus, n.d.) (Slunečnice, n.d.)
Další zajímavé skutečnosti, vyvstává při pohledu na poměry po sobě jdoucí Fibonacciho čísla.
zdá se, že tyto poměry se blíží číslu. Číslo, ke kterému se tyto poměry přibližují, je speciální číslo zvané zlatý poměr, které je označeno 
zlatý poměr:
\
zlatý poměr má desetinnou aproximaci \(\phi=1.6180339887\).
zlatý poměr je zvláštní číslo z různých důvodů. Nazývá se také božský podíl a objevuje se v umění a architektuře. Někteří tvrdí, že je to nejpříjemnější poměr k oku. Chcete-li najít tento poměr, Řekové rozřezali délku na dvě části a nechali menší kus rovnat jedné jednotce. Nejvíce potěšující řez je, když poměr celou délku 
Zlatý řez je řešení kvadratické rovnice. 
fungovalo to!
další zajímavý vztah mezi zlatým poměrem a Fibonacciho sekvencí nastává při převzetí moci 
a tak dále.
Všimněte si, že koeficienty 
Zlaté Pravidlo: \(\phi^{n}=f_{n} \phi+f_{n-1}\)
, kde\(f_{n}\) je n-té Fibonacciho číslo a \(\phi\) je Zlatý Poměr.
Například \(\PageIndex{5}\): Pravomoci Zlatý Poměr
Najít následující pomocí zlaté pravidlo:. 
